Produktmix-Problem

Das Produktmix-Problem ist die Entscheidung, wie viel von jedem Produkt in einem einperiodigen Horizont (typischerweise Woche oder Monat) zu produzieren ist. Bei gegebenen Stück-Deckungsbeiträgen $c_i$, Verbrauchskoeffizienten $a_{r,i}$ (Maschinenstunden/Stück, kg Rohstoff/Stück, Personalstunden/Stück), Ressourcenkapazitäten $b_r$ und Nachfrageobergrenzen $d_i$ sind die Entscheidungsvariablen die Mengen $x_i$. Das lineare Modell lautet max $\sum_i c_i x_i$ unter $\sum_i a_{r,i} x_i \le b_r$, $x_i \le d_i$, $x_i \ge 0$ und ist die kanonische erste industrielle Anwendung der **linearen Programmierung (LP)**. Nach George B. Dantzigs Simplex-Algorithmus 1947 verbreitete es sich in den 1950er-Jahren zuerst in Ölraffinerien (Mix aus Benzin, Diesel, Asphalt für maximalen Gewinn), dann in der gesamten Fertigungs- und Lebensmittelbranche. Standard-Lösung in Sekunden via Simplex oder Innere-Punkte-Methode; aus der Lösung kommen optimaler Mix, **Schattenpreise** (Grenznutzen einer zusätzlichen Stunde Engpass-Kapazität) und Slacks. Ganzzahlige Mengen werden über MIP behandelt; Nachfrageunsicherheit über zweistufiges stochastisches LP oder robustes LP (Bertsimas und Sim 2004). Eliyahu Goldratts (1984) **Theory of Constraints** ergänzt dies um die intuitive Regel: das Produkt mit dem höchsten **Beitrag pro Engpass-Ressourcenstunde** priorisieren, nicht das mit dem höchsten Stückpreis.