Schattenpreis

Der Schattenpreis (oder Dualpreis) einer Nebenbedingung in einem linearen Programm (LP) ist die marginale Veränderung des optimalen Zielfunktionswerts bei einer Einheit Erhöhung des rechten-Seite-Koeffizienten $b_r$ der Nebenbedingung. Für das Standard-LP $\max c^T x$ unter $Ax \le b$, $x \ge 0$ ist die optimale duale Variable $y_r^* \ge 0$ der Schattenpreis der Ressource $r$; der starke Dualitätssatz (von Neumann 1947) sagt, dass die optimalen Zielwerte von primalem und dualem Problem (bei beidseitiger Zulässigkeit) übereinstimmen. Schattenpreise tragen vier Interpretationen: (1) **Kapazitätsinvestitionsentscheidung** — sie geben den marginalen Deckungsbeitragswert einer zusätzlichen Einheit (Stunde/kg/…) der knappen Ressource an; liegt z. B. der Engpassmaschinen-Schattenpreis bei 380 TRY/Stunde und der Überstundenzuschlag bei 250 TRY/Stunde, lohnen Überstunden. (2) **Schlupf-Nebenbedingung** — eine Ressource mit Schattenpreis null ist nicht bindend; sie hat freien Slack, eine Erweiterung verbessert das Ziel nicht. (3) **Marginale Preisbildung** — wird als interner Verrechnungspreis oder interne Gebotspreis entlang der Lieferkette verwendet. (4) **Sensitivitätsanalyse** — der Schattenpreis bleibt im Gültigkeitsbereich $[b_r^-, b_r^+]$ konstant; außerhalb ändert sich die duale Variable. In der Praxis berichten Solver-Erweiterungen für Tabellenkalkulationen sowie kommerzielle und Open-Source-LP-Solver die Schattenpreise direkt im Sensitivitätsbericht.