Wenn dieselben Maschinen, derselbe Rohstoff und dieselbe Belegschaft auf mehrere Produkte verteilt werden, bestimmt die Entscheidung dieser Woche deine Marge — in der Literatur heißt das Produktmix-Problem, eine klassische Anwendung der linearen Programmierung (LP).
Kurz gesagt
Kommt Ihnen das bekannt vor?
- Wir machen 3-15 Produkte, alle teilen sich denselben Rohstoffbestand und dieselben Maschinen — ein Produktlauf nimmt einem anderen Kapazität weg.
- Der Vertrieb nimmt jede Woche neue Aufträge an, die Produktion verspricht 'diesmal passt es', dann stockt es am Engpass.
- Bei der Wahl, wie viel von jedem Produkt zu fertigen ist, gehen wir nach 'das Produkt mit dem höchsten Verkaufspreis bevorzugen' — vielleicht ist genau das aber das Produkt, das den Engpass am längsten frisst.
- Stückmarge steht in der Buchhaltung. Aber **'Marge pro Maschinenstunde'** oder **'Marge pro Kilogramm Rohstoff'** wird nirgends gerechnet.
- Am Monatsende blicken wir zurück und sagen 'hätten wir weniger X gemacht, hätte Y noch reingepasst'; mit der Info vorher hätten wir anders entschieden.
- Wenn ein Rohstoff knapp wird (importierte Komponente, Wechselkurs-Schock, Lieferantenverzug), diskutieren wir jedes Mal von vorne, welches Produkt zu halten und welches zu kürzen ist.
- Die Kundennachfrage gibt eine Wochenobergrenze pro Produkt vor — die muss in den Plan, aber die Tabelle wird immer von Hand geführt.
Warum es wichtig ist
Wie wird es gelöst?
Technische Tiefe
Wie wird es gelöst?
Technische TiefeIn einem Satz: Unter Produkten, die dieselbe Maschine konkurrierend nutzen, bevorzuge das, das pro Maschinenstunde am meisten Geld bringt — nicht das mit dem höchsten Verkaufspreis. Die Entscheidung hat drei Stufen.
1. Zahlen aufstellen. Pro Produkt brauchst du: Stückmarge (Verkaufspreis minus variable Stückkosten — TRY/Stück, aus der Buchhaltung), Maschinenstunden/Stück, Kilogramm Rohstoff/Stück, Personalstunden/Stück, sowie die maximale wöchentliche/monatliche Kundenabnahme (Nachfrage-Obergrenze). Dann für jede Ressource die Kapazität: wöchentliche/monatliche Maschinenstunden (netto, nach geplanter Wartung und Stillständen), wöchentliche Rohstoff-Zugänge, wöchentliche Netto-Personalstunden. Diese Tabelle ist die Eingabe für die lineare Programmierung: Ziel ist, die Summe aus (Menge × Stückmarge) über alle Produkte zu maximieren; Nebenbedingungen sind, dass kein Ressourcenverbrauch die Kapazität übersteigt und kein Produkt seine Nachfrage-Obergrenze überschreitet.
2. Der Rechner löst. Die Solver-Erweiterung einer Tabellenkalkulation oder ein Open-Source-Solver liefert den optimalen Mix in Sekunden. Aus dem Ergebnis kommen drei nützliche Informationen:
- Optimaler Mix: Wie viele Stück von jedem Produkt zu machen sind.
- Schattenpreis (für jede Engpass-Ressource): “Eine zusätzliche Stunde/Kilogramm dieser Ressource — um wie viel würde meine Monatsmarge steigen?” Wenn der Schattenpreis der Abfüllanlage 47 TRY/Stunde ist, ist eine zusätzliche Stunde 47 TRY zusätzliche Marge wert.
- Slack (ungenutzte Kapazität): Ressourcen, die das Modell nie ausnutzt. Eine weitere Investition in diese Ressourcen ist sinnlos.
Der Schattenpreis allein ist ein starkes Entscheidungsinstrument: Schattenpreis der Abfüllanlage 47 TRY/Stunde, Überstundenzuschlag 25 TRY/Stunde → Überstunden lohnen, 22 TRY/Stunde Netto-Margenzuwachs. Umgekehrt (Schattenpreis 18 TRY/Stunde, Überstundenzuschlag 25 TRY/Stunde) wären Überstunden ein Verlust.
Wenn Mengen ganzzahlig sein müssen (keine halben Stück), läuft der Solver als gemischt-ganzzahlige Programmierung (MIP); mittlere Größenordnungen lösen ebenfalls in Minuten. Bei unsicherer Nachfrage — z. B. der Kunde bestellt diese Woche zwischen 100 und 300 — übernehmen szenariobasierte oder Risikopuffer-Erweiterungen (robust LP).
3. In den Betrieb einbauen. Der Output wird zum wöchentlichen oder monatlichen Produktionsauftrag: Menge pro Produkt, Maschinenauslastung, Schattenpreis-Bericht. Datenfluss: Stückmarge aus der Buchhaltung, Nachfrage-Obergrenze aus dem Vertrieb, Ressourcen-Kapazitäten aus der Produktion. In der monatlichen Planungsrunde sehen Vertrieb, Produktion und Finanzen dieselbe Tabelle. Wenn Rohstoffpreise springen, der Wechselkurs sich bewegt oder ein neuer Auftrag eingeht — das Modell löst neu, der Mix aktualisiert. Diese rollierende Planung (jede Woche oder jeden Monat neu lösen) ist Pflicht, weil Nachfrage und Kapazität ständig driften.
Alternativen
Bauchgefühl + Tabellen-Sortierung
KostenlosKeine Lizenz
Für wen geeignet: 2-4 Produkte, ein Engpass, stabiler Rohstoffpreis
- + Keine Softwarekosten
- + Ad-hoc, flexibel
- + Akzeptables Ergebnis mit wenigen Produkten und einem Engpass
- − Über 5 Produkte kann der Mensch die Marge pro Engpassstunde nicht richtig sortieren
- − Zwei gleichzeitige Engpässe sind aus dem Bauch nicht lösbar
- − Schattenpreis bleibt verborgen — Investitionen in Maschinen oder Schichten erfolgen ohne Daten
- − Ein Rohstoff-Preissprung löst keine Neuberechnung aus
Tabellenkalkulation mit Solver-Erweiterung
lowKeine zusätzliche Lizenz (im Office-Paket) oder günstiges Jahresabo
Für wen geeignet: 5-25 Produkte, 5-15 Ressourcenrestriktionen, monatlicher Zyklus
- + Läuft im bereits genutzten Office-Paket, keine neue Software
- + LP-Solver liefert das Optimum in Minuten
- + Schattenpreis- und Sensitivitätsbericht inklusive
- + Operations-Team in 1-2 Wochen schulbar
- − Tabellenkalkulationen sind fehleranfällig — eine verschobene Formel fällt nicht auf
- − Versionierung schwierig (wer hat welche Version aktualisiert)
- − Über 200 Variablen werden Solver in der Tabellenkalkulation langsam
- − Automatischer Datenfluss erfordert Makro oder Skript
ERP-Produktionsmodul + LP-Plug-in
EnterpriseKernlizenz inklusive; Custom-LP-Plug-in 60K-250K TRY einmalig oder 40K-120K TRY p.a. (TR-Marktbeobachtung)
Für wen geeignet: Mittelständischer Hersteller, 10-50 Produkte, Mehrschichtbetrieb
- + Bestand, Vertrieb und Kosten sind im ERP integriert
- + Lokalsprachige Oberfläche möglich, lokaler Support
- + Automatischer Datenfluss — kein manueller Transfer
- + Mehrnutzer, rollenbasierter Zugriff
- − Standard-ERP-Module enthalten meist kein LP — Custom-Entwicklung nötig
- − Schattenpreis- und Sensitivitätsberichte fehlen in den meisten Paketen
- − Szenariounterstützung unter Unsicherheit schwach
Open-Source-Solver + Custom-Produktmix-Modul
Open SourceLizenz kostenlos; Eigenentwicklung 6-14 Wochen oder 200K-700K TRY Beratung
Für wen geeignet: Hersteller mit Tech-Team, Integration in bestehende Systeme gewünscht
- + Keine Lizenzgebühr
- + Lineare und gemischt-ganzzahlige Solver sind ausgereift; Millionen-Variable in Sekunden
- + Unsicherheits- und rollierende Erweiterungen in der offenen Literatur dokumentiert
- + Stochastische und robuste LP-Erweiterungen einfach hinzufügbar
- − Interner LP-Experte und Integrationsteam Pflicht
- − Prototyp-zu-Produktion 3-6 Monate
- − Wartung bleibt im Haus
Empfehlung
Im Gespräch fragen
- Welcher Ansatz wird im Produktmix-Modell verwendet — kontinuierliche lineare Programmierung (LP), gemischt-ganzzahlige Programmierung (MIP) oder heuristische Sortierung?
- Bis zu welcher Größenordnung (Anzahl Produkte × Anzahl Ressourcen) bleibt die Lösungszeit praktikabel (Sekunden, Minuten, Stunden)?
- Sind Schattenpreis- und Sensitivitätsberichte direkt im Hauptbericht oder in einem separaten Modul?
- Unterstützt das System szenariobasiertes oder robustes Mischen bei Nachfrage-Unsicherheit, oder nur eine deterministische Punktprognose?
- Wie ist der Datenfluss aufgesetzt, um den Mix bei Rohstoff- oder Wechselkursbewegungen neu zu berechnen — stündlich, täglich, manuell ausgelöst?
- Liest das Modell Stückkosten, Bestand, Maschinenkalender und Auftragsbestand automatisch aus dem vorhandenen ERP, oder über Tabellenkalkulations-Exporte?
- Im Pilot (12-16 Wochen) mit echten Nachfrage- und Kapazitätsdaten — welcher Margenverbesserungsbericht gegen die manuelle Entscheidung wird geliefert?
- Wenn der Vertrag endet, in welchem Standardformat exportieren wir Modellparameter, Lösungshistorie und Schattenpreis-Verlauf?
Technische Details
Anmerkung der Redaktion
Im umgangssprachlichen Gebrauch heißt das Problem ‘was lohnt sich zu produzieren?’, ‘welcher Auftrag hat Priorität?’ oder ‘Produktmix’. Akademisch ist es das Product Mix Problem oder Resource Allocation Linear Programming; es war die erste industriell breit angewandte Anwendung der linearen Programmierung (LP — die mathematische Methode, die unter Nebenbedingungen den besten Mix findet). Nach Dantzigs Simplex-Algorithmus 1947 wurde LP in den 1950er-Jahren zuerst in Ölraffinerien angewandt (Mix aus Benzin, Diesel, Asphalt für maximalen Gewinn) und breitete sich von dort auf die gesamte Fertigungs- und Lebensmittelbranche aus.
Nicht zu verwechseln mit Problem 44 (Aggregierte Produktionsplanung — APP). APP sitzt eine Ebene darüber: Über einen 3-18-Monats-Horizont entscheidet es gemeinsam Produktionsrate, Bestand, Personal, Einstellung/Entlassung, Überstunden und Fremdvergabe. Produktmix-LP ist kleiner und einperiodig: diese Woche oder diesen Monat, mit gegebener Kapazität und Rohstoff, wird entschieden, wie viel von jedem Produkt zu machen. APP liefert monatliche Produktfamilien-Raten; Produktmix-LP bricht diese in wöchentliche Produktebenen-Mengen herunter.
Auch nicht zu verwechseln mit Problem 16 (Wagner-Whitin Losgrößenplanung). Wagner-Whitin ist Einprodukt, mehrperiodig: “diesen Monat produzieren, wie viel?” — Trade-off zwischen Setup-Kosten (Rüstkosten) und Lagerhaltungskosten. Produktmix-LP ist mehrproduktig, einperiodig, Allokation knapper Ressourcen. Sie ergänzen sich: zuerst sagt Produktmix-LP, wie viel von jedem Produkt diese Periode, dann legt Wagner-Whitin die Losgröße jedes Produkts fest.
Der am häufigsten übersehene Punkt: Die Entscheidung sollte nach Marge pro Engpass-Maschinenstunde getroffen werden, nicht nach Stückgewinn. Eliyahu Goldratts Theory of Constraints besteht darauf: nutze jede Engpass-Maschinenstunde für das Produkt mit der höchsten Marge, nicht mit dem höchsten Verkaufspreis. Ein Produkt mit 1000 TRY Gewinn pro Stück und 4 Stunden Engpasszeit bringt 250 TRY/Stunde an der Maschine. Ein anderes mit 600 TRY pro Stück und 1.5 Stunden bringt 400 TRY/Stunde — das gewinnt. Das Bauchgefühl wählt fast immer das erste, weil der Stückgewinn größer aussieht — pro Stunde kippt die Tabelle.
Zweiter übersehener Punkt — den Schattenpreis lesen. Die LP-Lösung liefert für jede Engpass-Ressource einen Grenzwert: “eine zusätzliche Stunde dieser Ressource — wie viel Margenwachstum?” Sagen wir 380 TRY/Stunde. Mit dem Überstundenzuschlag verglichen: liegt der Zuschlag bei 250 TRY/Stunde, lohnen Überstunden (netto 130 TRY/Stunde). Läge der Schattenpreis bei 180 TRY/Stunde, wären Überstunden ein Verlust. Dieselbe Zahl verankert die Amortisationsrechnung für eine zusätzliche Maschine oder einen Fremdvergabe-Deal.
Schritt-für-Schritt-Pfad — für ein KMU
Phase 1 — Erst messen, dann planen. Für die kommenden 4-12 Wochen, pro Produkt: Stückmarge (Verkaufspreis minus variable Stückkosten — auf den Kuruş aus der Buchhaltung), Engpass-Maschinenstunde/Stück, Kilogramm Rohstoff/Stück, Personalstunde/Stück, wöchentliche Nachfrage-Obergrenze. Kapazitäts-Inventur: wöchentliche Netto-Maschinenstunden (abzüglich geplante Wartung, Schichtwechsel und Stillstände), wöchentliche Rohstoffzugänge, wöchentliche Netto-Personalstunden.
Phase 2 — Modell aufstellen. In einer Tabellenkalkulation: eine Zeile pro Produkt, eine Spalte pro Ressource. Mit der Solver-Erweiterung Entscheidungsvariablen (Menge je Produkt), Nebenbedingungen (Gesamtverbrauch pro Ressource ≤ Kapazität, jedes Produkt ≤ Nachfrage-Obergrenze, Mengen nicht negativ) und Zielfunktion (maximale Gesamtmarge) definieren. Als Pilot eine echte Vorwoche lösen (echter Auftragsbestand, Kapazität, Preise); den Output mit der manuell getroffenen Entscheidung vergleichen. Ein erster Pilot bringt typischerweise 5-15% Margenverbesserung.
Phase 3 — Automatisieren. Datenfluss: Stückmarge aus der Buchhaltung, Nachfrage-Obergrenze aus dem Vertrieb, Ressourcen-Kapazitäten aus der Produktion. Das wöchentliche Modell läuft selbständig, der Output steuert den Produktionsplan und die Auftragsannahme. Der Schattenpreis-Bericht erscheint im monatlichen Management-Dashboard.
Phase 4 — Skalieren. Über 6-12 Monate: gesamte Produktlinie, Multi-Engpass, automatische Neuberechnung bei Rohstoff-Preisänderungen, Schattenpreis-basierte Empfehlungen für Maschinen- oder Schicht-Investitionen. Wenn Nachfrage-Unsicherheit wesentlich wird, kommt eine stochastische oder robuste Erweiterung als separates Modul.
Risiken — was schiefgehen kann
- Stückkostenfehler. Stückmarge kommt aus der Buchhaltung; sind Gemeinkosten falsch zugeordnet (z. B. gemeinsame Maschinenkosten gleichmäßig statt nach Nutzung gesplittet), priorisiert die Entscheidung das falsche Produkt. Erst Kostensystem-Review.
- Fehler in der Nachfrage-Obergrenze. Zu hoch angesetzt, wird aus dem Optimum unverkäuflicher Bestand; zu niedrig, geht Marge verloren. Obergrenze in den Verkaufs-Ist-Werten der letzten 6-12 Monate verankern, nicht in einer Prognose.
- Engpass-Wechsel. Mit verändertem Mix kann der Engpass wechseln; die Annahme, dass dieselbe Maschine eng bleibt, veraltet. Monatlicher Re-Solve + Schattenpreis-Bericht überwacht den Engpass.
- Rohstoff-Unsicherheit. Ein Punktwert-LP ist gegen Preis- oder Versorgungsschocks fragil. Für kritische Rohstoffe 2-3 Szenarien (Basis / Tief / Hoch) als Mehrszenario- oder robustes LP. Single-Supplier-Abhängigkeit koppelt den Mix an den Status des Lieferanten.
Solver-Landschaft — technischer Blick
| Ansatz | Typische Größe | Lösungszeit | Garantiertes Optimum? |
|---|---|---|---|
| Bauchgefühl + Sortierung | 2-4 Produkte, ein Engpass | sofort | Nein, 30-50% Abweichung vom Optimum |
| Sortierung nach Marge pro Engpassstunde (Goldratt 1984) | 3-8 Produkte, ein Engpass | Minuten | Ja bei einem Engpass |
| Tabellenkalkulation mit LP-Solver | 5-50 Produkte, 5-20 Ressourcen | Sekunden | Ja |
| Gemischt-ganzzahlige Programmierung (MIP) | 5-50 Produkte, 5-30 Ressourcen | Sekunden-Minuten | Ja |
| Szenariobasiertes (stochastisches) LP | 10-100 Produkte, Mehrszenario | Minuten | Ja, Szenarienzahl begrenzt |
| Risikopuffer (robustes) LP | 10-100 Produkte, Unsicherheitsbudget | Minuten | Ja |
Zielwahl:
- Maximale Gesamtmarge: Standard. Summe aus (Menge × Stückmarge) über alle Produkte.
- Maximale Nachfrageerfüllung: Wenn die Auftragsabdeckung strategischer Kunden Priorität hat, höhere Gewichte auf Schlüsselprodukte innerhalb der Obergrenze.
- Minimaler Engpass-Leerlauf: Maximale Kapazitätsauslastung. Stimmt meist mit dem Gesamtmargen-Ziel überein; weicht es ab, wird Kapazität aus strategischen Gründen vollgehalten.
- Risikoadjustierte Marge: Marge unter schlechten Szenarien absichern — braucht stochastische oder robuste Erweiterung.
Mehrzielig: gewichtete Summe (Gesamtmarge + Kundenprioritätsgewicht) oder hierarchisch (strategische Kundenabdeckung zuerst, dann Gesamtmarge).
Akademische Quellen
Im sources-Feld am Seitenanfang gelistet.
Quellen
- Dantzig, G. B. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton University Press. Kanonische Referenz für LP; erste breite Veröffentlichung des Simplex-Algorithmus.
- Hillier, F. S. und Lieberman, G. J. (2014). Introduction to Operations Research (10. Auflage). McGraw-Hill. Standard-Lehrbuchdarstellung des Produktmix-LP mit numerischen Beispielen.
- Winston, W. L. (2003). Operations Research: Applications and Algorithms (4. Auflage). Duxbury. Industriebeispiele zu Produktmix und Sensitivitätsanalyse.
- Taha, H. A. (2017). Operations Research: An Introduction (10. Auflage). Pearson. LP, Simplex, Produktmix-Anwendungen.
- Goldratt, E. M. (1984). The Goal. North River Press. Theory of Constraints; Konzept Marge pro Engpass-Ressource.
- Bertsimas, D. und Sim, M. (2004). The price of robustness. Operations Research, 52(1), 35-53. Robustes LP unter Unsicherheit.
- Türkisches Hochschulforschungszentrum für Dissertationen — Suchwort ‘product mix’ oder ’lineare Programmierung’ oder ‘Kapazitätsallokation’ — 50+ Dissertationen. tez.yok.gov.tr
Glossar
- Lineare Programmierung (LP)
- Die Disziplin der mathematischen Programmierung, die eine lineare Zielfunktion unter linearen Gleichungs- und Ungleichungsrestriktionen optimiert und das Fundament des Operations Research bildet.
- Produktmix-Problem
- Klassisches Problem der linearen Programmierung: Ein Hersteller, der mehrere Produkte aus einem gemeinsamen Pool von Kapazität und Rohstoff fertigt, entscheidet kurzfristig, wie viel von jedem Produkt zu produzieren ist — Gewinn oder Deckungsbeitrag maximierend.
- Schattenpreis
- In einem linearen Programm: die marginale Veränderung des Zielfunktionswerts durch eine Einheit Erhöhung der rechten Seite einer bindenden Nebenbedingung; entsprechend der optimale Wert der zugehörigen dualen Variablen.
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