Bajo demanda constante y determinista, coste fijo de pedido y coste fijo de mantenimiento por unidad: solución cerrada para cuánto pedir cada vez. Nombre académico: Cantidad Económica de Pedido (EOQ); la solución cerrada es la fórmula de Wilson Q* = raíz cuadrada de 2DS/H. Fundamentales: Harris (1913); Wilson (1934).
En pocas palabras
¿Te suena?
- Somos un mayorista o fabricante mediano; pedimos los mismos 50-500 SKU continuamente; la decisión de compra es intuitiva: 'stock de un mes' o 'llenar el camión'.
- El coste de transporte + aduana + procesamiento por pedido no se contabiliza limpiamente; no conocemos el coste real S por pedido con cada proveedor (típico 50-500 EUR sin documentar).
- El coste anual de mantenimiento H por unidad no se calcula limpiamente; capital inmovilizado (25-40%/año), almacén, deterioro/obsolescencia están borrosos; intuitivamente se usa '15-25% del precio unitario'.
- Dos empleados piden el mismo producto con frecuencias distintas; uno 'semanal pequeño', otro 'mensual grande'; no se compara numéricamente cuál es correcto en coste.
- El proveedor ofrece descuento por cantidad (5% por encima de 100, 10% por encima de 500); hay presión de 'compra más, paga menos' pero no se calcula una cantidad sensata con coste de mantenimiento incluido.
- Cuando el pedido es grande, el almacén se desborda; cuando pequeño, el coste de transporte se infla; estamos en uno de los extremos y no tenemos fórmula intermedia.
- En el inventario de fin de año nos quejamos de 'demasiado stock' o 'roturas constantes'; no se dibuja el vínculo matemático entre tamaño de pedido y resultado.
Por qué importa
Cómo se resuelve
Profundidad técnica
Cómo se resuelve
Profundidad técnicaEn una frase: La fórmula de Wilson Q* = √(2DS/H) — dada la demanda anual D, el coste de pedido S y el coste anual de mantenimiento H por unidad, fija cada pedido en Q*; es el único número que minimiza el coste de pedido y el de mantenimiento en conjunto.
Este problema se conoce en la literatura de Investigación de Operaciones (disciplina que usa matemáticas e informática para resolver decisiones de negocio) y gestión de inventarios como Cantidad Económica de Pedido (EOQ). La fórmula fue derivada por Harris en 1913 y llevada a la práctica por Wilson en 1934 — de ahí el nombre “fórmula de Wilson”. EOQ es de tres etapas:
1. Modelado. Supuestos (EOQ clásico): (a) tasa de demanda constante y determinista (D anual conocido), (b) coste S por pedido constante (independiente del tamaño — procesamiento, transporte, aduana, facturación incluidos), (c) coste anual de mantenimiento H por unidad constante (tasa de capital × coste unitario + almacén/año + deterioro + seguro), (d) entrega instantánea (plazo cero o conocido), (e) no se permite rotura (stock repuesto al llegar a cero), (f) un solo producto. Datos: D (consumo histórico 12 meses), S (suma de partidas de compra + logística + contabilidad por pedido — 50-500 EUR típico), H. Variable de decisión: cantidad de pedido Q. Objetivo: minimizar coste anual total TC(Q) = (D/Q) × S + (Q/2) × H.
2. Decisión con solver — fórmula de Wilson. Solución cerrada (closed-form — se resuelve en una línea de fórmula): TC(Q) es convexa (forma U); derivando y igualando a cero (dTC/dQ = -DS/Q² + H/2 = 0) se obtiene el óptimo: Q = raíz cuadrada de 2DS/H*. Esta solución cerrada se conoce como fórmula de Wilson. Número óptimo anual de pedidos N* = D/Q* = raíz cuadrada de DH/2S. Coste anual total óptimo TC* = raíz cuadrada de 2DSH. Inventario promedio anual Q*/2. Análisis de sensibilidad (cost-flatness — la curva de coste es plana alrededor del óptimo): la propiedad práctica más bella del EOQ — desviación ±20% aumenta el coste total sólo 2-5%; ±50% lo aumenta 10-25%. Significado práctico: aunque la cantidad mínima del proveedor o las restricciones de transporte impidan alcanzar Q* exactamente, acercarse es suficiente. Extensiones — necesarias en la práctica: (a) Descuentos por cantidad — all-units QD (si el total supera el umbral, el descuento aplica a todas las unidades) e incremental QD (sólo a las unidades por encima del umbral). Solución: calcular Q* por nivel, comprobar factibilidad, comparar costes, búsqueda en tabla. (b) Rotura planificada / backordering. (c) Tasa finita de reposición (EPQ — Economic Production Quantity). (d) Restricción de vida útil. (e) EOQ ajustado por inflación — para economías de alta inflación se abre el componente variable en el tiempo de H. (f) Reposición conjunta multiproducto es #050 JRP.
3. Integración de campo. Salida en cuatro capas: (a) tabla por SKU con Q*, N*, inventario medio y coste total anual — documento maestro mensual, (b) calendario de pedidos al proveedor derivado de N*, (c) matriz de decisión de descuentos por cantidad, (d) informe de banda de sensibilidad (±20% de Q*). Integración aguas arriba: ERP módulo de inventario (D, precio), módulo de compras (mínimos, niveles de descuento), finanzas (tasa anual), almacén. Comité trimestral de compras + inventario.
Alternativas
Regla intuitiva (objetivo mensual o llenar el pedido mínimo)
GratisSin licencia
Para quién: Muy pequeño, <50 SKU, un proveedor dominante
- + Cero coste de software
- + Fácil de entender, sin formación
- + Mínimo del proveedor como disparador directo
- + Error aceptable con pocos SKU
- − El trade-off pedido vs mantenimiento no se calcula matemáticamente
- − Desviación 20-50% del óptimo → 10-25% extra/año
- − Oportunidad de descuento perdida o mal tomada
- − H no se actualiza en alta inflación
- − Por encima de 50 SKU el empleado se cansa y los errores se multiplican
- − 50K-300K EUR/año de optimización perdida
Hoja de cálculo + plantilla de cantidad económica de pedido (hecha en casa)
GratisSin licencia; 1-3 semanas de construcción, tiempo del empleado
Para quién: Pequeño-mediano, 50-300 SKU, comprador con habilidad numérica
- + El cálculo cerrado se hace en 2 minutos
- + Cero coste de software, inicio rápido
- + Análisis de sensibilidad (±20 %) fácil
- + Tabla de niveles para descuentos por cantidad
- + Baja necesidad de formación
- − Actualización manual (cambios en demanda, coste de pedido, coste de mantenimiento)
- − Sin integración automática con el módulo de inventario del ERP
- − Sincronización multiusuario débil
- − Insuficiente para demanda estocástica (#004) o lot-sizing dinámico (#016)
- − Control de versiones y traza de auditoría débil
Módulo de inventario del ERP + configuración EOQ
Empresarial30K-200K EUR licencia + 8K-50K EUR/año mantenimiento (mercado PYME ERP)
Para quién: Mediano, 200-2000 SKU, ERP existente
- + Integrado con ERP — demanda automática (histórico de ventas), componentes de coste de mantenimiento extraídos
- + Cálculo masivo del tamaño de pedido en el portfolio
- + Descuento por cantidad, mínimo del proveedor, plazo configurables
- + Solicitud de compra automática
- + Traza de auditoría + control de versiones fuertes
- − El módulo EOQ suele ser básico — extensiones (rotura planificada, tasa finita de producción, ajuste por inflación) son limitadas
- − Estocástico (#004) y lot-sizing dinámico (#016) requieren módulo aparte
- − La calibración (coste de pedido, coste de mantenimiento) sigue siendo responsabilidad del usuario
- − Licencia ERP + despliegue 6-12 meses
Solver de código abierto + módulo de optimización propio
Código abiertoLicencia gratuita; construcción interna 8-20 semanas o 50K-200K EUR de consultoría
Para quién: Negocio con equipo técnico, integración ERP, varias extensiones EOQ
- + Sin coste de licencia
- + Cálculo clásico + extensiones (descuento por cantidad, rotura planificada, tasa finita de producción, ajuste por inflación) en un módulo
- + Integración API con ERP personalizable
- + Formulaciones de equilibrio pedido-mantenimiento bien definidas con solvers de código abierto
- + Extensible con estocástico (#004) y lot-sizing dinámico (#016)
- − Especialista interno en OR/inventario + equipo de software requeridos
- − Prototipo académico a sistema productivo: 8-20 semanas
- − Mantenimiento y actualizaciones internos
- − Formación y documentación interna
Recomendación
Pregunta en la reunión
- ¿Cómo se implementa la cantidad económica de pedido clásica (la solución cerrada que equilibra coste de pedido frente a coste de mantenimiento) — como fórmula o como regla intuitiva?
- ¿Cómo se definen el coste por pedido y el coste anual de mantenimiento por unidad — manualmente o extraídos automáticamente de los módulos de compras, finanzas y almacén del ERP?
- ¿Se soportan modelos de descuento por cantidad (descuento sobre todas las unidades y descuento incremental), o sólo el cálculo clásico de precio único?
- ¿Se soportan extensiones como rotura planificada / backordering, tasa finita de producción (cantidad económica de producción) y restricción de vida útil?
- ¿Se soporta una variante ajustada por inflación para entornos de alta inflación — o una parametrización del coste de mantenimiento variable en el tiempo? ¿La componente de capital es dinámica?
- ¿El análisis de sensibilidad (banda ±20 % alrededor del óptimo, informe de aumento de coste) se produce automáticamente?
- ¿Hay integración con la política de punto de pedido (#004) — se producen conjuntamente la decisión del tamaño y la del momento, o son dos módulos separados?
- Si termina el contrato, ¿en qué formato estándar (CSV, JSON) podemos exportar la tabla del tamaño óptimo del portfolio, el histórico de parámetros (coste de pedido, coste de mantenimiento), los niveles de descuento por cantidad y el historial de análisis?
Detalles técnicos
Nota del editor
En lenguaje corriente este problema se llama “cuánto pedir cada vez” o “cuántos meses de stock”. El nombre académico es Cantidad Económica de Pedido (EOQ); la solución cerrada es la fórmula de Wilson Q* = raíz cuadrada de 2DS/H. Fundamentales: Harris (1913) en Factory; Wilson (1934) en Harvard Business Review. Referencias modernas: Zipkin (2000); Silver-Pyke-Peterson (1998); Hadley-Whitin (1963). Los artículos de Harris y Wilson se consideran las partidas de nacimiento de la gestión de inventarios.
Distinción con otros problemas de inventario: #004 (s,S) punto de reorden trata demanda estocástica + disparador de reorden. #016 Wagner-Whitin resuelve lotes periodo a periodo bajo demanda variable en el tiempo. #011 newsvendor: perecederos de un solo periodo. #050 Joint Replenishment Problem (JRP) coordina multiproducto con coste de pedido compartido. #049 Multi-Echelon optimiza una cadena de depósitos. EOQ es la línea base de producto único + determinista + demanda constante; los otros cuatro se construyen relajando sus supuestos. Por eso EOQ es la piedra angular de la teoría de inventarios.
Punto más omitido en el sector: la modificación dependiente del tramo para descuentos por cantidad. En la práctica el proveedor ofrece 5% por encima de 100 unidades, 10% por encima de 500; el EOQ clásico de un solo tramo es insuficiente. El enfoque correcto: calcular Q* por tramo de descuento, comprobar factibilidad, comparar costes, búsqueda en tabla para el óptimo global. All-units quantity discount EOQ (el descuento aplica a todas las unidades si se supera el umbral) e incremental quantity discount EOQ (sólo las unidades por encima del umbral están descontadas) son las dos variantes clásicas.
Segundo punto omitido: la propiedad de cost-flatness del EOQ no es conocida, así que la distancia intuitiva al óptimo se acepta. Una desviación ±20% sólo da 2-5% más de coste — aunque el mínimo del proveedor o las restricciones de transporte impidan alcanzar Q* exactamente, una cantidad cercana da una desviación aceptable. Tercer punto: refresco dinámico de H en alta inflación. La tasa de capital sube al 25-45%/año; el supuesto de H constante se rompe. Solución: EOQ ajustado por inflación (Buzacott 1975, Bierman-Thomas 1977) o recalibración mensual.
Camino paso a paso para una PYME
Etapa 1 — Primero medir, luego calcular. Al menos 12 meses de datos. Definición documentada por escrito de S y H.
Etapa 2 — Construir el capital de conocimiento. Calcular Q* = raíz cuadrada de 2DS/H por SKU. Análisis de sensibilidad ±20%. Tabla de niveles de descuento por proveedor.
Etapa 3 — Piloto. 3-6 meses. Aplicar sobre los 30-50 SKU más volumen. Criterios de éxito escritos: coste total -15%, capital atrapado -10%, captura de descuento +5%.
Etapa 4 — Despliegue. 6-12 meses para extender al portfolio completo + integración ERP + comité trimestral. Refresco mensual de H en alta inflación.
Riesgos — qué puede ir mal
Incertidumbre de la demanda — el supuesto determinista colapsa. La demanda real oscila ±20-50%. Corrección: SKU con CV > 0,5 migran a #004 (s,S). Usar EOQ sólo con CV < 0,3.
Inflación — la proporción H y S se rompe. Q* calculado hace 6 meses puede estar 30-40% por encima o debajo del óptimo actual. Corrección: recalibración mensual, EOQ ajustado por inflación.
Mínimo del proveedor — Q < MOQ.* Si el mínimo del proveedor está muy por encima de Q* (p. ej. Q* = 200, MOQ = 1000) la desviación es grave. Corrección: negociar el mínimo, buscar alternativas, agrupar pedidos.
Lock-in de proveedor de ERP/software. Cláusula contractual de “exportación anual en formato estándar” para la tabla Q*, histórico de S/H, niveles de descuento e historial de análisis EOQ.
Método de solución — vista técnica
| Enfoque | Escala típica | Tiempo | ¿Óptimo garantizado? |
|---|---|---|---|
| Regla intuitiva | Muy pequeño, <50 SKU | inmediato | No, 50-70% óptimo |
| Wilson clásica (cerrada) | Pequeño-mediano, 50-300 SKU | minutos | Sí, bajo supuestos |
| EOQ con descuento (búsqueda en tabla) | Mediano, varios niveles | minutos | Sí, dentro de niveles |
| EOQ con rotura planificada | Backorder permitido | minutos | Sí (cerrada) |
| EPQ — Economic Production Quantity | Tasa de producción conocida | minutos | Sí (cerrada) |
| EOQ ajustado por inflación | Alta inflación | minutos-horas | Sí (parámetros actuales) |
| EOQ con vida útil | Producto perecedero | minutos | Sí (con restricción inactiva) |
| Integrado con #004 s,S | Demanda incierta | horas | Óptimo estocástico |
Elección de función objetivo:
- Objetivo 1 — Coste anual total mínimo (pedido + mantenimiento): objetivo clásico.
- Objetivo 2 — Capital atrapado mínimo: para negocios con caja restringida.
- Objetivo 3 — Número anual de pedidos en una banda objetivo.
- Objetivo 4 — Nivel de servicio en una banda objetivo: integrado con #004.
Variantes de EOQ:
- EOQ clásico (Harris 1913, Wilson 1934).
- EOQ con descuento (all-units / incremental).
- EOQ con rotura planificada / backordering.
- EPQ (Taft 1918).
- EOQ con vida útil.
- EOQ ajustado por inflación (Buzacott 1975, Bierman-Thomas 1977).
- EOQ + stock de seguridad (puente a #004).
Referencias académicas
Listadas en el frontmatter en sources. Harris (1913) y Wilson (1934) fundamentales; Zipkin (2000) y Silver-Pyke-Peterson (1998) referencias modernas.
Fuentes
- Harris, F. W. (1913). How many parts to make at once. Factory, The Magazine of Management, 10(2), 135-136, 152. Artículo fundamental que deriva por primera vez la fórmula EOQ.
- Wilson, R. H. (1934). A scientific routine for stock control. Harvard Business Review, 13(1), 116-128. Lleva EOQ a la práctica y le da nombre.
- Zipkin, P. H. (2000). Foundations of Inventory Management. McGraw-Hill. Libro de referencia moderno.
- Silver, E. A., Pyke, D. F. y Peterson, R. (1998). Inventory Management and Production Planning and Scheduling (3.ª ed.). Wiley. Manual práctico.
- Hadley, G. y Whitin, T. M. (1963). Analysis of Inventory Systems. Prentice-Hall. Análisis matemático.
- Buzacott, J. A. (1975). Economic order quantities with inflation. Operational Research Quarterly, 26(3), 553-558. Extensión con inflación.
- Bierman, H. y Thomas, J. (1977). Inventory decisions under inflationary conditions. Decision Sciences, 8(1), 151-155. Decisión bajo inflación.
- YÖK Thesis Center — palabra clave: ’ekonomik sipariş miktarı’ o ‘EOQ’ o ‘Wilson formülü’ — 40+ tesis de la academia TR. tez.yok.gov.tr
Glosario
- EOQ
- La fórmula clásica de inventario para la cantidad de pedido más económica al proveedor.
- Fórmula de Wilson
- Solución cerrada Q* = raíz cuadrada de 2DS/H derivada por Wilson (1934) para el problema EOQ; da la cantidad de pedido que minimiza el coste bajo demanda determinista y constante D, coste fijo de pedido S y coste anual de mantenimiento por unidad H.
- Extensiones de EOQ
- Familia de relajaciones y extensiones del modelo clásico de Cantidad Económica de Pedido — descuentos por cantidad (all-units / incremental), roturas planificadas / backordering, tasa finita de reposición (EPQ), restricción de vida útil, pedido conjunto multiproducto y variantes ajustadas por inflación.
- Stock de Seguridad
- Stock adicional frente a la incertidumbre de demanda y lead time — protege de roturas en oscilaciones inesperadas.
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