Problema del Mix di Prodotti

Il problema del mix di prodotti è la decisione di quanto produrre di ciascun prodotto in un orizzonte mono-periodo (tipicamente settimana o mese). Dati margini di contribuzione unitari $c_i$, coefficienti di consumo per prodotto $a_{r,i}$ (ore macchina/unità, kg materia prima/unità, ore manodopera/unità), capacità di risorsa $b_r$ e tetti di domanda per prodotto $d_i$, le variabili di decisione sono le quantità $x_i$. Il modello lineare è max $\sum_i c_i x_i$ soggetto a $\sum_i a_{r,i} x_i \le b_r$, $x_i \le d_i$, $x_i \ge 0$, ed è l'applicazione canonica inaugurale della **programmazione lineare (LP)** nell'industria. Dopo l'algoritmo simplesso di George B. Dantzig (1947), si diffuse prima nelle raffinerie di petrolio negli anni 1950 (mix di benzina, diesel e asfalto in uscita di raffineria per massimo profitto), poi in tutta la manifattura e l'industria alimentare. La soluzione standard si ottiene in secondi col simplesso o col metodo del punto interno; dall'output emergono il mix ottimo, i **prezzi ombra** (valore marginale di un'ora aggiuntiva di capacità collo di bottiglia) e gli sliding. Per quantità intere si usa MIP; per incertezza di domanda, LP stocastico a due stadi o LP robusto (Bertsimas e Sim 2004). La **teoria dei vincoli** di Eliyahu Goldratt (1984) la integra con la regola intuitiva: dare priorità al prodotto col maggiore **margine di contribuzione per ora di risorsa collo di bottiglia**, non a quello col prezzo unitario più alto.