Se condividi le stesse macchine, la stessa materia prima e gli stessi addetti tra più prodotti, la decisione di questa settimana fissa il tuo guadagno — in letteratura è il Problema del Mix di Prodotti, una classica applicazione della programmazione lineare (LP).
In breve
Ti suona familiare?
- Produciamo 3-15 prodotti, tutti condividono lo stesso magazzino di materia prima e le stesse macchine — la produzione di uno toglie capacità all'altro.
- Vendite accetta nuovi ordini ogni settimana, produzione promette 'questa volta ci sta', poi ci si blocca al collo di bottiglia.
- Quando scegliamo quanto di ogni prodotto fare, applichiamo 'priorità al prezzo di vendita più alto' — ma forse è proprio il prodotto che mangia il collo di bottiglia più a lungo.
- Il guadagno unitario è in contabilità. Ma **'guadagno per ora-macchina'** o **'guadagno per chilo di materia prima'** non si calcola.
- A fine mese a volte rivediamo e diciamo 'se avessimo fatto meno di X, ci sarebbe stato Y'; con quell'informazione prima avremmo deciso diverso.
- Quando una materia prima scarseggia (linea importata, shock cambio, ritardo fornitore) ridiscutiamo da zero quale prodotto tenere e quale tagliare.
- Il cliente fissa un tetto settimanale per prodotto — deve entrare nel piano, ma il foglio di calcolo si fa sempre a mano.
Perché è importante
Come si risolve
Profondità tecnica
Come si risolve
Profondità tecnicaIn una frase: Tra i prodotti che competono per la stessa macchina, dai priorità a quello che porta più soldi per ora sulla macchina — non a quello col prezzo di vendita più alto. La decisione ha tre fasi.
1. Mettere insieme i numeri. Per ogni prodotto serve: guadagno unitario (prezzo di vendita meno costo unitario variabile — TRY/unità, dalla contabilità), ore macchina/unità, chilogrammi di materia prima/unità, ore manodopera/unità, e il massimo che il cliente può assorbire alla settimana o al mese (tetto di domanda). Poi per ogni risorsa, la capacità: ore macchina settimanali/mensili disponibili (al netto di manutenzione e fermi), arrivi settimanali di materia prima, ore manodopera nette. Questa tabella è l’input della programmazione lineare: l’obiettivo è massimizzare la somma di (quantità × guadagno unitario) su tutti i prodotti; i vincoli sono che il consumo di ciascuna risorsa non superi la capacità e che ciascun prodotto non superi il proprio tetto di domanda.
2. Il computer risolve. Il componente solver di un foglio di calcolo (Solver) o un solver open-source restituisce il mix ottimo in secondi. Escono tre informazioni utili:
- Mix ottimo: quante unità di ciascun prodotto produrre.
- Prezzo ombra (per ogni risorsa collo di bottiglia): “Se avessi un’ora/chilo in più di questa risorsa, di quanto crescerebbe il mio guadagno mensile?” Se il prezzo ombra della linea di riempimento è 47 TRY/ora, un’ora in più vale 47 TRY di guadagno aggiuntivo.
- Slack (capacità inutilizzata): risorse che il modello non riempie mai. Investirci ancora è inutile.
Il prezzo ombra da solo è uno strumento decisionale potente: prezzo ombra della linea di riempimento 47 TRY/ora, sovrapprezzo dello straordinario 25 TRY/ora → aprire straordinari rende (netto 22 TRY/ora di guadagno aggiuntivo). All’inverso (prezzo ombra 18 TRY/ora, sovrapprezzo 25 TRY/ora), aprire straordinari sarebbe una perdita.
Se le quantità devono essere intere (no mezze unità), il solver gira come Programmazione Intera-Mista (MIP); su scala media si risolve sempre in minuti. Quando la domanda è incerta — diciamo il cliente questa settimana ordinerà fra 100 e 300 — entrano in gioco le estensioni basate su scenari o a margine di sicurezza (LP robusto).
3. Collegarlo all’operatività. L’output diventa un ordine di produzione settimanale o mensile: quantità per prodotto, fattore di carico macchina, report dei prezzi ombra. Flusso dati: guadagno unitario dalla contabilità, tetto di domanda dalle vendite, capacità di risorsa dalla produzione. Alla riunione mensile di pianificazione, vendite-produzione-amministrazione guardano la stessa tabella. Quando i prezzi della materia prima saltano, il cambio si muove o arriva un ordine nuovo — il modello rirsolve e il mix si aggiorna. Questo orizzonte mobile (rirsolvere ogni settimana o mese) è obbligatorio perché domanda e capacità derivano in continuazione.
Alternative
A istinto + ordinamento in foglio di calcolo
GratuitoLicenza zero
Per chi: 2-4 prodotti, un unico collo di bottiglia, prezzo materia prima stabile
- + Costo software zero
- + Decisione immediata, flessibile
- + Risultato accettabile con pochi prodotti e un solo collo
- − Oltre i 5 prodotti la mente umana non ordina correttamente il guadagno per ora di collo
- − Due colli di bottiglia stretti contemporaneamente non si risolvono a istinto
- − Il prezzo ombra resta nascosto — gli investimenti in macchine o turni si fanno senza dati
- − Un balzo di prezzo della materia prima non innesca il ricalcolo
Componente solver di foglio di calcolo (Solver)
lowNessuna licenza aggiuntiva (incluso nella suite office) o abbonamento annuo basso
Per chi: 5-25 prodotti, 5-15 vincoli di risorsa, ciclo mensile
- + Dentro la suite office già in uso, niente software nuovo
- + Il solver LP dà l'ottimo in minuti
- + Report di prezzo ombra e analisi di sensibilità inclusi
- + Squadra operativa formata in 1-2 settimane
- − I fogli di calcolo sono soggetti a errori — una formula spostata passa inosservata
- − Controllo versione difficile (chi ha aggiornato quale copia)
- − Oltre 200 variabili i solver da foglio di calcolo rallentano
- − Flusso dati automatico richiede macro o script
Modulo produzione ERP + plug-in LP
AziendaleLicenza base inclusa; plug-in LP su misura 60K-250K TRY una tantum o 40K-120K TRY annui (osservazione del mercato turco)
Per chi: Produttore di medie dimensioni, 10-50 prodotti, multi-turno
- + L'ERP integra già magazzino, vendite e costi
- + Interfaccia in lingua locale, supporto locale
- + Flusso dati automatico — niente trasferimenti manuali
- + Multi-utente, controllo accesso per ruolo
- − I moduli ERP standard di solito non includono LP — serve sviluppo su misura
- − Report di prezzo ombra e sensibilità assenti nella maggior parte dei pacchetti
- − Supporto debole per pianificazione stocastica o multi-scenario
Solver open-source + modulo mix su misura
Open SourceLicenza gratuita; sviluppo interno 6-14 settimane o 200K-700K TRY di consulenza
Per chi: Produttore con squadra tecnica, integrazione desiderata con sistemi esistenti
- + Nessun costo di licenza
- + Solver lineari e interi-misti maturi; problemi da un milione di variabili in secondi
- + Estensioni sotto incertezza e a orizzonte mobile documentate in letteratura aperta
- + Estensioni LP stocastiche e robuste facili da aggiungere
- − Richiede esperto LP interno e team di integrazione
- − Da prototipo a produzione 3-6 mesi
- − La manutenzione resta in casa
Raccomandazione
Chiedi nell'incontro
- Quale approccio utilizza il modello di mix prodotto — programmazione lineare continua (LP), programmazione intera-mista (MIP) o ordinamento euristico?
- Fino a che scala (numero di prodotti × numero di risorse) il tempo di risoluzione resta pratico (secondi, minuti, ore)?
- Il report di prezzo ombra e analisi di sensibilità appare direttamente nell'output principale o in un modulo separato?
- Sotto incertezza di domanda, è supportata una pianificazione basata su scenari o robusta, o solo una previsione puntuale deterministica?
- Come è impostato il flusso dati per ricalcolare il mix quando il prezzo della materia prima o il cambio si muovono — orario, giornaliero o attivato manualmente?
- Il modello legge costo unitario, scorte, calendario macchine e portafoglio ordini automaticamente dal nostro ERP, o via export di foglio di calcolo?
- Durante il pilota (12-16 settimane) su dati reali di domanda e capacità, quale report di miglioramento del guadagno viene fornito rispetto alla decisione manuale?
- Se il contratto termina, in quale formato standard possiamo esportare parametri del modello, storico delle soluzioni e storico dei prezzi ombra?
Dettagli tecnici
Nota redazionale
Nel parlato comune si chiama ‘cosa produco?’, ‘quale ordine ha priorità?’ o ‘mix prodotti’. Nella letteratura accademica è il Product Mix Problem o Resource Allocation Linear Programming; è stata la prima applicazione industriale a larga diffusione della programmazione lineare (LP — il metodo matematico che trova il miglior mix sotto vincoli). Dopo l’algoritmo simplesso di Dantzig (1947), l’LP è stato applicato per primo nelle raffinerie di petrolio negli anni 1950 (mix di benzina, diesel, asfalto per massimo profitto) e si è diffuso in tutta la manifattura e l’industria alimentare.
Da non confondere col problema 44 (Pianificazione Aggregata di Produzione — APP). L’APP sta uno strato sopra: su un orizzonte di 3-18 mesi decide congiuntamente tasso di produzione, scorte, organico, assunzioni/licenziamenti, straordinari e subappalto. Il LP di mix è più piccolo e mono-periodo: questa settimana o questo mese, con capacità e materia prima date, si decide quanto di ciascun prodotto. L’APP dà tassi mensili per famiglia di prodotto; il LP di mix li scompone in quantità settimanali a livello di prodotto.
Da non confondere col problema 16 (lottizzazione Wagner-Whitin). Wagner-Whitin è mono-prodotto, multi-periodo: ‘produco questo mese e quanto?’ — l’equilibrio tra costo di preparazione (setup) e costo di mantenimento delle scorte. Il LP di mix è multi-prodotto, mono-periodo, allocazione di risorse scarse. Si completano: prima il LP di mix dice quanto di ciascun prodotto questo periodo, poi Wagner-Whitin fissa la dimensione del lotto.
Il punto più spesso saltato: La decisione va presa in base al guadagno per ora-macchina di collo di bottiglia, non al profitto unitario. La Teoria dei Vincoli di Eliyahu Goldratt insiste: usa ogni ora del collo per il prodotto con il maggiore guadagno, non con il maggiore prezzo di vendita. Un prodotto da 1000 TRY di profitto a unità che consuma 4 ore di collo rende 250 TRY/ora sulla macchina. Un altro da 600 TRY per unità che consuma 1.5 ore rende 400 TRY/ora — vince il secondo. L’intuito sceglie quasi sempre il primo perché il profitto unitario sembra maggiore — ma per ora la tabella si rovescia.
Secondo punto saltato — leggere il prezzo ombra. La soluzione LP dà un valore marginale per ogni collo di bottiglia: ‘se avessi un’ora in più di questa risorsa, di quanto crescerebbe il guadagno mensile?’ Mettiamo che esca 380 TRY/ora. Confrontalo col sovrapprezzo dello straordinario: se il sovrapprezzo è 250 TRY/ora, aprire straordinari rende (netto 130 TRY/ora). Se il prezzo ombra fosse 180 TRY/ora, aprire straordinari sarebbe perdita. Lo stesso numero ancora il calcolo di rientro di una macchina nuova o di un subappalto.
Percorso passo per passo — per una PMI
Fase 1 — Prima misurare, poi pianificare. Per le prossime 4-12 settimane, per prodotto: guadagno unitario (prezzo di vendita meno costo unitario variabile — al kuruş dalla contabilità), ora-macchina collo/unità, chilogrammi materia prima/unità, ore manodopera/unità, tetto settimanale di domanda. Inventario di capacità: ore-macchina nette settimanali (al netto di manutenzione pianificata, cambi turno e fermi), arrivi settimanali di materia prima, ore manodopera nette.
Fase 2 — Mettere insieme il modello. In un foglio di calcolo, una riga per prodotto, una colonna per risorsa. Col componente solver, definire variabili di decisione (quantità per prodotto), vincoli (consumo totale per risorsa non superi la capacità, ciascun prodotto non superi il tetto di domanda, quantità non negative) e funzione obiettivo (guadagno totale massimo). Come pilota, risolvere una settimana reale precedente (portafoglio ordini, capacità, prezzi reali); confrontare l’output con la decisione presa a mano. Un primo pilota tipicamente dà 5-15% di guadagno in più."
Fase 3 — Automatizzare. Flusso dati: guadagno unitario dalla contabilità, tetto domanda dalle vendite, capacità dalla produzione. Il modello settimanale gira da solo, l’output guida il piano di produzione e la decisione di accettazione ordini. Il report di prezzo ombra appare sul dashboard mensile.
Fase 4 — Estendere. In 6-12 mesi: tutta la gamma prodotti, multi-collo, ricalcolo automatico al cambio prezzo materia prima, raccomandazioni di investimento in macchine o turni basate sul prezzo ombra. Se l’incertezza di domanda è rilevante, un’estensione stocastica o robusta come modulo separato.
Rischi — cosa può andare storto
- Errore nel costo unitario. Il guadagno unitario viene dalla contabilità; se le spese generali sono ripartite male (es. costo macchina condiviso diviso in parti uguali invece che per uso), la decisione spinge il prodotto sbagliato. Prima revisione del sistema costi.
- Errore nel tetto di domanda. Sovrastimato, l’ottimo diventa giacenza invenduta; sottostimato, lascia guadagno sul tavolo. Ancorare il tetto agli effettivi delle vendite degli ultimi 6-12 mesi, non a una previsione.
- Spostamento del collo di bottiglia. Cambiando il mix, la macchina collo può cambiare; l’assunzione che resti la stessa invecchia. Ri-risoluzione mensile + report di prezzo ombra sorveglia il collo.
- Incertezza materia prima. Un LP a punto unico è fragile sotto shock di prezzo o fornitura. Per materie critiche, 2-3 scenari (base / basso / alto) come LP multi-scenario o robusto. La dipendenza da un unico fornitore lega il mix al suo stato."
Panorama dei solver — vista tecnica
| Approccio | Scala tipica | Tempo di risoluzione | Ottimo garantito? |
|---|---|---|---|
| A istinto + ordinamento | 2-4 prodotti, un collo | istantaneo | No, gap 30-50% dall’ottimo |
| Ordinamento per guadagno per ora di collo (Goldratt 1984) | 3-8 prodotti, un collo | minuti | Sì con un solo collo |
| Componente LP del foglio di calcolo | 5-50 prodotti, 5-20 risorse | secondi | Sì |
| Programmazione intera-mista (MIP) | 5-50 prodotti, 5-30 risorse | secondi-minuti | Sì |
| LP basato su scenari (stocastico) | 10-100 prodotti, multi-scenario | minuti | Sì, numero scenari limitato |
| LP con margine di sicurezza (robusto) | 10-100 prodotti, budget di incertezza | minuti | Sì |
Scelta dell’obiettivo:
- Massimo guadagno totale: obiettivo standard. Somma di (quantità × guadagno unitario) su tutti i prodotti.
- Massima copertura della domanda: se la priorità è soddisfare clienti strategici, peso maggiore ai prodotti chiave entro il tetto di domanda.
- Minimo inattivo al collo: massimo utilizzo di capacità. Coincide di solito con il guadagno totale; se diverge, la capacità è tenuta piena per motivi strategici.
- Guadagno aggiustato per rischio: proteggere il guadagno sotto scenari cattivi — richiede estensione stocastica o robusta.
Multi-obiettivo: somma pesata (guadagno totale + peso priorità cliente) o gerarchico (copertura del cliente strategico prima, poi guadagno totale).
Fonti accademiche
Elencate nel campo sources in testa alla pagina.
Fonti
- Dantzig, G. B. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton University Press. Riferimento canonico per LP; prima pubblicazione ampia dell’algoritmo simplesso.
- Hillier, F. S. e Lieberman, G. J. (2014). Introduction to Operations Research (10ª edizione). McGraw-Hill. Trattazione standard del LP di mix con esempi numerici.
- Winston, W. L. (2003). Operations Research: Applications and Algorithms (4ª edizione). Duxbury. Esempi industriali di mix e analisi di sensibilità.
- Taha, H. A. (2017). Operations Research: An Introduction (10ª edizione). Pearson. LP, simplesso, applicazioni di mix.
- Goldratt, E. M. (1984). The Goal. North River Press. Teoria dei vincoli; concetto di guadagno per ora di risorsa collo di bottiglia.
- Bertsimas, D. e Sim, M. (2004). The price of robustness. Operations Research, 52(1), 35-53. Quadro LP robusto sotto incertezza.
- Centro Tesi del Consiglio dell’Istruzione Superiore di Turchia — parola chiave ‘mix prodotti’ o ‘programmazione lineare’ o ‘allocazione capacità’ — 50+ tesi. tez.yok.gov.tr
Glossario
- Programmazione Lineare (LP)
- Disciplina della programmazione matematica che ottimizza una funzione obiettivo lineare soggetta a vincoli lineari di uguaglianza e disuguaglianza, fondamento della ricerca operativa.
- Problema del Mix di Prodotti
- Problema classico di programmazione lineare in cui un produttore che fabbrica più prodotti da un comune pool di capacità e materia prima decide nel breve termine quanto produrre di ciascun prodotto, massimizzando profitto o margine di contribuzione.
- Prezzo Ombra
- In un problema di programmazione lineare, la variazione marginale del valore della funzione obiettivo provocata da un incremento unitario del lato destro di un vincolo attivo; equivalentemente, il valore ottimo della variabile duale corrispondente.
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